1Nel viaggio in treno verso Mirabilandia, Lisa è seduta nella settima carrozza dalla testa del treno, mentre Marco è seduto nella sesta carrozza dalla coda; Marco è più vicino di Lisa alla testa del treno e tra le loro carrozze vi è un'altra carrozza. Da quante carrozze è composto il treno?

2L'area del quadrato della figura 1 vale “a”; chiamiamo “b” l'area di ciascuno dei cerchi delle figure 1 e 2. Nella figura 2, i tre cerchi allineati sono racchiusi da un elastico. Se l'elastico viene accorciato in modo che sia in tensione, senza cambiare la posizione dei tre cerchi, qual è l'area della figura delimitata dall'elastico?

3Andrea ha calcolato il volume di una sfera, ma, nell’applicare la nota formula, ha usato per errore il diametro invece del raggio. Che cosa dovrebbe fare del risultato ottenuto, per giungere alla risposta corretta?

4Quanto fa?

5Per quale delle seguenti combinazioni di lati e angoli esiste un triangolo ABC univocamente determinato?

6La media degli studenti promossi da una certa scuola, nei quattro anni 1999 - 2002 è stata di 325 studenti all'anno, mentre nei cinque anni 1999 - 2003 la media è stata superiore del 20%. Quanti studenti sono stati promossi dalla scuola nel 2003?

7Tiriamo due dadi (con le facce numerate da 1 a 6, come d'uso), osserviamo i punteggi riportati sulle facce superiori e calcoliamone la differenza. Qual è il valore più probabile per il valore assoluto di tale differenza?

8L'insieme di tutti i valori del parametro m per cui le curve di equazioni x²+y² = 1 e y = x² + m hanno esattamente un unico punto in comune è

9Quanti modi distinti vi sono di ricoprire tutte le caselle bianche della scacchiera in figura, usando le usuali tessere da domino 1 x 2?

10Costruiamo un triangolo numerico ponendo in ogni casella un numero intero maggiore di 1, seguendo le istruzioni mostrate sotto. Quale dei seguenti numeri non può apparire nella casella ombreggiata?

11Sia KLM un triangolo e sia N un punto interno al triangolo, avente distanze f, g, h dai lati come nella figura (che evidenzia le misure dei lati). Qual è il valore dell'espressione 5f + 12g + 13h?

12Due gabbiani bianchi e otto gabbiani grigi volano su un fiume. All'improvviso atterrano su una delle sponde del fiume, disponendosi in linea retta in ordine casuale. Qual è la probabilità che i due gabbiani bianchi si trovino uno accanto all'altro?

13Quanto fa?

1412, 13 e 15 sono le lunghezze (non necessariamente in quest'ordine) di due lati di un triangolo acutangolo e dell'altezza relativa al terzo lato. Determinare l'area del triangolo.

15Un computer stampa la lista delle settime potenze dei numeri naturali, cioè la successione 1⁷, 2⁷, 3⁷, ... etc. Quanti termini di questa successione sono strettamente compresi tra i numeri 5²¹ e 2⁴⁹?

16Sapendo che 10ⁿ + 1 è un multiplo di 101 e n è un numero di due cifre, qual è il massimo valore possibile per n?

17La figura mostra due quadrati, aventi lati di lunghezza 2 m e 1 m rispettivamente. Qual è l'area della regione ombreggiata?

18La somma 100² - 99² + 98² - … + 2² - 1² è uguale a

19Sapendo che a > 0 e (a + 1/a)² = 6, quanto vale a³ + 1/a³ ?

20Tracciamo dapprima un triangolo equilatero, poi tracciamo la circonferenza ad esso circoscritta; ora circoscriviamo a questa circonferenza un quadrato, e al quadrato circoscriviamo un'altra circonferenza; a questa nuova circonferenza circoscriviamo un pentagono regolare, e così via. Ripetiamo questa costruzione, con nuove circonferenze e nuovi poligoni regolari (ognuno avente un lato in più del precedente) fino a tracciare il poligono regolare di 16 lati. Quante sono le regioni disgiunte contenute all'interno dell'ultimo poligono?

21Il grafico della funzione f, illustrato dalla figura, è formato da un segmento e da due semirette. Qual è l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione f (f (f (x)))=0 ?

22Un punto P(x, r) appartiene alla circonferenza di centro (2,2) e raggio r. Sapendo che r > 2 e sia x sia r sono interi positivi, qual è il più piccolo valore possibile per x?

23Supponiamo che A>B>1, e che B sia un intero positivo tale che A, B, A-B, A+B siano tutti numeri primi. Allora S=A+B+(A-B)+(A+B)

24Il responsabile vendite di un grande magazzino deve stabilire il prezzo di un maglione. Un’ indagine di mercato gli ha comunicato i seguenti dati: se il prezzo è 75 euro, il maglione sarà acquistato da 100 persone; ogni volta che il prezzo aumenta di 5 euro, il numero di acquirenti diminuisce di 20 unità, mentre ogni volta che il prezzo diminuisce di 5 euro, si vendono 20 maglioni in più. Il costo dei maglioni per il grande magazzino è di 30 euro l'uno. Qual è (in euro) il prezzo di vendita che massimizza il profitto?

25In un rettangolo ABCD, siano P, Q e R i punti medi dei lati BC, CD e AD, rispettivamente, e sia M il punto medio del segmento QR. Quale frazione dell'area di ABCD è coperta dal triangolo APM?

26La successione (aₙ) è definita nel modo seguente: a₀ = 4, a₁ = 6, aₙ₊₁ = (aₙ)/(aₙ₋₁), con n > 1. Allora a₂₀₀₃ è uguale a:

27ABCD è un rettangolo, in cui AB = 16, BC = 12. ACE è un triangolo rettangolo con l’angolo retto in C e CE = 15. Se F è il punto di intersezione di AE e CD, allora l'area del triangolo ACF vale

28Associandogli un verso, Pietro trasforma ogni spigolo di un cubo in un vettore di pari lunghezza; somma quindi tutti i 12 vettori così ottenuti. Quanti risultati differenti può ottenere Pietro in questo modo (operando sui versi tutte le scelte possibili)?

29Consideriamo i 6 vertici di un esagono regolare, e tutti i segmenti che uniscono due qualsiasi di questi punti. Chiamiamo due tra questi segmenti “estranei” se non hanno punti in comune (compresi gli estremi). Quante sono le coppie di segmenti “estranei” ?

30Sia f un polinomio tale che f (x² + 1) = x⁴ + 4x² . Allora f (x² - 1) è il polinomio