1La figura suggerisce come ottenere per via grafica l’uguaglianza 1 + 3 + 5 + 7 = 4 x 4. Con quale dei seguenti prodotti coincide la somma 1 + 3 + 5 + 7 + … + 27 + 29 + 31 ?

2Che numero devi sostituire al simbolo *, se vuoi che la somma dei numeri presenti nella prima riga sia uguale a quella dei numeri presenti nella seconda?

3Quanti numeri composti da quattro cifre tutte dispari sono divisibili per cinque?

4Il direttore di una società ha detto “Ognuno dei nostri impiegati ha almeno 25 anni”. Si è poi saputo che la sua affermazione è falsa. Allora è vero che

5Nella scatola, che in figura vedi dall’alto, ci sono sette barrette uguali: ognuna di esse ha base rettangolare di lati 1 cm e 3 cm. È possibile far scivolare alcune barrette senza sollevarle in modo che nella scatola ci sia posto per un’altra barretta con le stesse misure? In caso di risposta affermativa, qual è il minimo numero di barrette che basta far scivolare?

6Il triangolo ABC è retto, M è il punto medio dell’ipotenusa AB e l’angolo in A misura 60 gradi. Quanti gradi misura l’angolo BMC?

7Quale tra i seguenti può essere il numero degli spigoli di un prisma?

8In un sacchetto ci sono palline di tre colori: blu, verde e rosso (ce n’è almeno una per ogni colore). Sappiamo che, se estraiamo a caso 5 palline, certamente ce ne saranno almeno due rosse ed almeno tre saranno dello stesso colore. Quante palline blu ci sono nel sacchetto?

9La media aritmetica di un insieme di 2000 numeri è 2000. Aggiungiamo all’insieme 2010 nuovi numeri: la media aritmetica di tutti i 4010 numeri adesso è 2010. La media aritmetica dei 2010 numeri che abbiamo aggiunto è

10Il quadrato in figura ha il lato lungo 2. Ogni semicirconferenza ha centro in un vertice del quadrato e passa per il centro del quadrato. Ogni cerchio ombreggiato ha centro su un lato del quadrato ed è tangente alle due semicirconferenze che tagliano quel lato. Quanto misura l’area della regione ombreggiata?

11I tre numeri in figura sono termini consecutivi di una progressione geometrica. Il termine successivo della progressione è

12Per quanti numeri interi positivi di due cifre, accade che la cifra x delle decine e la cifra y delle unità soddisfano l’equazione (x – 8)³ + (y – 1)² = 0?

13Nella corona circolare in figura, la corda AB è tangente alla circonferenza interna ed ha lunghezza 16. Qual è l’area della corona circolare?

14I numeri interi x ed y soddisfano l’equazione 2x = 5y. Solo uno dei seguenti numeri può essere x + y. Quale?

15Osserva la figura. Il triangolo grande è costruito accostando 36 triangoli equilateri, ciascuno di area 1. Quanto vale l’area del triangolo ABC ?

16Quale dei seguenti è l’insieme delle soluzioni dell’equazione (x – |x|)2 + (y – |y|)2 = 4 ?

17Quanti triangoli rettangoli si possono formare congiungendo tre vertici di un poligono regolare di 14 lati? (Triangoli non aventi gli stessi vertici, anche se ottenibili uno dall’altro per rotazione del poligono, vanno considerati diversi.)

18Nell’espressione 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 ogni asterisco può essere rimpiazzato a scelta da “+” o da “x” (somma o prodotto). Sia N il più grande fra i valori dell’espressione ottenibili in tal modo. Qual è il più piccolo fattore primo di N? (Si ricordi che “1” non è un numero primo.)

19Le lunghezze dei lati di un triangolo sono i numeri naturali 13, x e y. Trovare il perimetro del triangolo sapendo che xy = 105.

20Un nastro di carta è stato piegato tre volte, come illustrato in figura. Trovare la misura in gradi dell’angolo β‚ sapendo che la misura in gradi dell’angolo α, che ha determinato la prima piegatura, è 70.

21Due lati del triangolo grande in figura sono suddivisi ciascuno in 10 segmenti uguali, che determinano le strisce evidenziate. Quale percentuale dell’area del triangolo risulta ombreggiata ?

22100 persone prendono parte ad una gara di corsa, facendo tempi a due a due diversi fra loro. Alla domanda su quale sia stato il suo piazzamento, ogni partecipante risponde dicendo un numero, naturalmente tra 1 e 100. La somma di tutte le risposte fornite è 4000. Qual è il numero minimo di partecipanti che devono avere mentito?

23Lanciamo tre volte un dado. Se il numero ottenuto al terzo lancio è la somma dei numeri ottenuti nei primi due, qual è la probabilità che, nei tre lanci, sia apparso almeno una volta un due?

24Un codice a barre del tipo mostrato in figura è composto di strisce bianche e nere alternate, con la striscia iniziale e quella finale sempre nera. Ogni striscia è di ampiezza 1 o 2 e l’ampiezza totale è 12. Quanti differenti codici si possono costruire? (Ogni codice va letto da sinistra verso destra.)

25Sia f una funzione a valori reali definita sull’insieme dei numeri reali strettamente positivi tale che, vedi la figura, per ogni x > 0. Quanto vale f(6) ?

26Una superficie è piastrellata con piastrelle quadrate di due dimensioni diverse, come mostrato in figura. Le piastrelle più grandi hanno lato di lunghezza a, le più piccole di lunghezza b. Le due rette punteggiate (che passano per i punti indicati, che sono intersezioni di lati di quadrati) formano un angolo di 30 gradi di ampiezza. Quanto vale a : b ?

27Ogni numero naturale da 1 a 10 è stato scritto dieci volte su una lavagna. Uno studente cancella due numeri dalla lavagna e al loro posto scrive la loro somma diminuita di uno; poi un altro studente cancella due dei numeri sulla lavagna e scrive al loro posto la loro somma diminuita di uno e così via finché sulla lavagna resta un solo numero. Il numero rimasto è

28Trova quanto vale l’espressione

29Nella rappresentazione decimale del numero (dove la cifra “4” viene scritta esattamente 100 volte), qual è la centesima cifra dopo la virgola?

30Per quanti interi primi p è vero che il numero 307p + 4 è un quadrato perfetto?